已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.它的一个焦点在抛物线y2=-4x的准线上．点E为椭圆C的右焦点．(1)求椭圆C的方程,(2)已知直线l:y=kx+t与椭圆C交于M.N两点．(i)若t≠0.直线EM与EN的斜率分别为k1.k2.满足k1+k2=0.求证:直线l过定点.并求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，它的一个焦点在抛物线y²=-4x的准线上．点E为椭圆C的右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t与椭圆C交于M，N两点．
（i）若t≠0，直线EM与EN的斜率分别为k₁、k₂，满足k₁+k₂=0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）在x轴上是否存在点G（m，0），使得|MG|=|NG|，且|MN|=2？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

分析（1）求得抛物线准线方程则c=1，则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）（i）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线的斜率公式，可得m=-2k，进而得到直线恒过定点（2，0）；
（ii）利用弦长公式求得丨MN丨，由|MG|=|NG|，G在线段MN的中垂线上，直线GD的方程，求得m²=$\frac{{k}^{2}{t}^{2}}{（2{k}^{2}+1）^{2}}$，代入利用基本不等式的性质，即可求得实数m的取值范围；

解答解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
抛物线y²=-4x准线方程x=1，则c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
则△=16k²t²-8（1+2k²）（t²-1）＞0，
则x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
（i）证明：∵k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{1}+t}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+t}{{x}_{2}-1}$=0，
∴2kx₁x₂-2t+（t-k）（x₁+x₂）=0，
代入韦达定理，可得2k•$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-2t+（t-k）（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）=0，
化简可得t=-2k，
则直线的方程为y=kx-2k，即y=k（x-2），
故直线l恒过定点（2，0）；
（ii）假设存在点G（m，0）满足题意题意，丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
则丨MN丨=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{2{k}^{2}+1-{t}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=2，
化简整理得t²=$\frac{2{k}^{2}+1}{2（{k}^{2}+1）}$，
此时判别式△=8（2k²+1-t²）=8[2k²+1-$\frac{2{k}^{2}+1}{2（{k}^{2}+1）}$]＞0恒成立，
∴k∈R，
设MN中点D（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2kt}{2{k}^{2}+1}$，y₀=$\frac{t}{2{k}^{2}+1}$，
由|MG|=|NG|，则G在线段MN的中垂线上，
当k≠0，直线GD的方程为y-$\frac{t}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{2kt}{2{k}^{2}+1}$），当y=0，可得m=-$\frac{kt}{2{k}^{2}+1}$，
则m²=$\frac{{k}^{2}{t}^{2}}{（2{k}^{2}+1）^{2}}$，
则m²=$\frac{{k}^{2}}{2{（k}^{2}+1）（2{k}^{2}+1）}$=$\frac{1}{2（2{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+3）}$，
故m²≤$\frac{1}{2（2\sqrt{2{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}+3}）}$=$\frac{1}{2（2\sqrt{2}+3）}$=$\frac{1}{（\sqrt{2}）^{2}（\sqrt{2}+1）^{2}}$，
即丨m丨≤$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，且m≠0，
∴m的取值范围为[-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）∪（0，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]，
当k=0时，m=0，
综上，m的取值范围为[-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]．

点评本题考查椭圆的方程的求法，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，注意运用等比数列的中项的性质和韦达定理及弦长公式，中点坐标公式，基本不等式的综合应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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