Question

16．如图，在三棱锥A-BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=$\frac{2π}{3}$，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．根据三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，可得AO⊥平面BCD，AO⊥OD．因此∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．通过证明△OBA≌△OBD，即可得出．

解答 解：如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．
∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥OD．
∴∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．
∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=$\frac{2π}{3}$，
∴∠ABO=∠DBO，又OB公用，
∴△OBA≌△OBD，
∴∠BOD=∠AOB=$\frac{π}{2}$．OA=OD．
∴∠$ADO=\frac{π}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、三角形全等判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．