Question

11．已知$sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}，cos（β-α）=\frac{13}{14}，且0＜β＜α＜\frac{π}{2}$．
（1）求tan2α的值；
（2）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．
（2）由已知可求范围-$\frac{π}{2}$＜β-α＜0，利用同角三角函数基本关系式可求sin（β-α）的值，由β=（β-α）+α，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}，且0＜β＜α＜\frac{π}{2}$．
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{1}{7}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=4$\sqrt{3}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$．
（2）∵$cos（β-α）=\frac{13}{14}，且0＜β＜α＜\frac{π}{2}$．
∴-$\frac{π}{2}$＜β-α＜0，可得：sin（β-α）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-α）}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=$\frac{13}{14}×\frac{1}{7}-（-\frac{3\sqrt{3}}{14}）×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．