Question

3．已知{a_n}是等差数列，公差d＞0，S_n是其前n项和，a₁a₄=22，S₄=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：${T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．

解答 （1）解：∵a₁a₄=22，S₄=26，∴a₁（a₁+3d）=22，4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=26，
解得a₁=2，d=3；a₁=11，d=-3（舍去）．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）证明：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．