Question

17．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）
（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）设实数$a＞\frac{1}{2e}$，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，
f（e）=e又f'（e）=2，
∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：
y=2（x-e）+e，即y=2x-e------（4分）
（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，$得x=\frac{1}{e}$，
$当x∈（{0，\frac{1}{e}}）$时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；
当$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．
当$a≥\frac{1}{e}时，f（x）在[a，2a]单调递增，{[f（x）]_{min}}=f（a）=alna$，
$当\frac{1}{2e}＜a＜\frac{1}{e}时，得a＜\frac{1}{e}＜2a，{[f（x）]_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$…..（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．