Question

9．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=$\sqrt{2}$AA₁，Q是棱CC₁上的动点，则当BQ+D₁Q的长度取得最小值时，直线B₁Q和直线BD所成的角的正切值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 当BQ+D₁Q的长度取得最小值时Q是CC₁的中点，以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B₁Q和直线BD所成的角的正切值．

解答 解：设AB=BC=$\sqrt{2}$AA₁=$\sqrt{2}$，
把B₁C₁CB展开与D₁C₁CD成一个长方形D₁B₁BD时，
连结D₁B，交CC₁于Q时，当BQ+D₁Q的长度取得最小值，
此时Q是CC₁的中点，
以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，
则B₁（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），Q（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，1），D（0，0，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），
设直线B₁Q和直线BD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}Q}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}Q}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{9}{4}}•\sqrt{4}}$=$\frac{2}{3}$，
tanθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查线线角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．