Question

15．如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，点E为线段AB上一点．

（1）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（2）若二面角D-CE-M的大小为$\frac{π}{6}$，求出AE的长．

Answer 1

分析 （1）连结AM，设AM∩ND=F，连结EF，推导出EF∥BM，由此能证明BM∥平面NDE．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-CE-M的大小为$\frac{π}{6}$时，AE的长．

解答 证明：（1）连结AM，设AM∩ND=F，连结EF，
∵四边形ADMN为正方形，∴F是AM的中点，
又∵E是AB中点，∴EF∥BM，
又∵EF?平面NDE，BM?平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
解：（2）∵MD⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，交线为AD，MD?平面ADMN，
∴MD⊥平面ABCD，又∵AD⊥DC，
∴以D为坐标原点，DA，DC，DM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3），
设AE=a，（0≤a≤6），则E（3，a，0），$\overrightarrow{EC}$=（-3，6-a，0），$\overrightarrow{MC}$=（0，6，-3），
设平面CEM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-3x+（6-a）y=0}\\{6y-3z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得x=$\frac{6-a}{3}$，z=2，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{6-a}{3}$，1，2），
又∵平面DCE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），且二面角的大小为$\frac{π}{6}$，
∴cos$\frac{π}{6}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{（\frac{6-a}{3}）^{2}+1+4}}$，解得a=6-$\sqrt{3}$，（0≤a≤6），
由二面角D-CE-M的大小为$\frac{π}{6}$，
可得AE=6-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力培养和向量法的合理运用．