Question

已知函数f(x)=3^x，且f(a+2)=18，g(x)=3^ax-4^x的定义域为［0,1］.

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；

(3)求g(x)的值域.

Answer 1

思路分析：此题是一道有关函数的概念、函数性质及应用的推理、证明的综合题，做这类题目是可以从第(1)问寻找突破口，另外还要注意后面的各问分别以前面的(1)问作为提示或铺垫.

(1)要求函数g(x)的解析式，关键是把式中a的值求出来，而这可以由已知条件f(a+2)=18解得，从而求出g(x)的解析式；

(2)利用复合函数得单调性求g(x)的单调区间，并利用函数单调性得定义进行证明；

(3)利用函数的单调性求函数g(x)在区间［0,1］上的值域.

解：(1)∵f(x)=3^x,∴f(a+2)=3^a+2=18.∴3^a=2.

∴g(x)=3^ax-4^x=(3^a)^x-4^x.

∴g(x)=2^x-4^x.

(2)令t=2^x.∵x∈［0,1］，且函数t=2^x在区间［0,1］上单调递增，∴t∈［1,2］.

则y=t-t²=-(t²-t)=-(t)²+，t∈［1,2］.

∵函数t=2^x在区间［0,1］上单调递增，函数y=t-t²在［1,2］上单调递减，

∴函数g(x)的单调递减区间为［0,1］.

下面给出证明：

任取x₁、x₂∈［0,1］，且x₁＜x₂，则

g(x₂)-g(x₁)=

=,

∵0≤x₁＜x₂≤1,∴,且1≤＜2,1＜≤2.

∴2＜＜4.∴-3＜1＜-1.

∴()(1-)＜0.

∴g(x₂)＜g(x₁).

∴g(x₁)＞g(x₂).

∴函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.

(3)∵g(x)在［0,1］上是减函数，∴g(1)≤g(x)≤g(0).

∴g(1)=2¹-4¹=-2，g(0)=2⁰-4⁰=0.

∴-2≤g(x)≤0.

∴函数g(x)的值域为［-2,0］.