Question

（2007•武汉模拟）（文）如果函数f（x）=x²-bx+2在闭区间[-1，2]上有反函数，那么实数b的取值范围（　　）

A．（-∞，2]

B．（-∞，-4]∪[2，+∞）

C．[-2，+∞）

D．（-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析：函数f（x）=x²-bx+2在闭区间[-1，2]上有反函数，只须函数f（x）=x²-bx+2在闭区间[-1，2]上是单调函数?f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]恒成立，从而转化求函数g（x）=2x，在[-1，2]上的最值问题解决即可．

解答：解：对函数求导可得，f′（x）=2x-b，
函数f（x）=x²-bx+2在闭区间[-1，2]上有反函数，只须函数f（x）=x²-bx+2在闭区间[-1，2]上是单调函数
即f′（x）=2x-b≥0或f′（x）=2x-b≤0在[-1，2]恒成立
即b≤2x或b≥2x在[-1，2]上恒成立
令g（x）=2x，则g（x）在[-1，2]上的最小值为-2，最大值是g（2）=4
∴a≤-2或a≥4
故选D．

点评：本题主要考查了反函数、函数的单调性与函数导数的关系的应用，函数的恒成立问题的求解常会转化为求函数的最值，体现了构造函数与转化思想的应用．