Question

已知函数f（x）=x²+2ax+4
（1）当a=-1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（2）若函数f（x）在区间[-1，3]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）配方得f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，根据性质得出最大值：f（-2）=12，
（2）分类讨论函数f（x）在区间[-1，3]上有且只有1个零点，函数f（x）在区间[-1，3]上有2个零点，根据函数性质的才不等式组求解即可．

解答： 解：（1）∵当a=-1时，f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，
∴函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值：f（-2）=12，
（2）①函数f（x）在区间[-1，3]上有且只有1个零点，
（i）△=4a²-16=0，∴a=±2，
当a=2时，函数f（x）=x²-2x+4的零点为x=-2∉[-1，3]，
当a=-2时，函数f（x）=x²-2x+4的零点为x=2∈[-1，3]，
∴a=-2
（ii）当零点分别为-1，或3时，a的值分别为

5

2

或-

13

6

（ⅲ）f（-1）•f（3）＜0，得（-2a+5）（6a+13）＜0解得 a＞

5

2

或a＜-

13

6

②函数f（x）在区间[-1，3]上有2个零点，

-1＜-a＜3 △=4a2-16＞0 f(-1)≥0 f(3)≥0

，
解得：

-3＜a＜1 a＞2，或a＜-2 a≤ 5 2 a≥- 13 6

即-

13

6

≤a＜-2，
由①②得实数a的取值范围：a≤-2或a≥

5

2

点评：本题综合考查了函数的性质，在解决函数零点问题中的应用，注意分类讨论，属于中档题．