Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为是矩形，PA⊥底面ABCD，E为棱PD的中点，AP=2，AD=3，且三棱锥E-ACD的体积为1．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EC；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明PB∥平面EC；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用坐标法即可求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．

解答： 解：（ I）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为是矩形，PA⊥底面ABCD且三棱锥E-ACD的体积为1，
∴VE-ACD=

1

3

×

1

2

AD•CD•

1

2

PA=

3

，得CD=3---------------------（2分）
如图所示，以A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，建立空间角坐标系
由已知A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，2

3

，0），D（0，2

3

，0），P（0，0，2），E（0，

3

，1）
取AC中点O，则O（

3

2

，

3

，0），则

PB

=（3，0，-2），

EO

=(

3

2

，0，-1)，
∴

PB

=2

EO

，

PB

∥

EO

，即PB∥EO---------------------（4分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC---------------------（6分）
（ II）

AE

=(0，

3

，1)，

AP

=(0，0，2)，

AC

=(3，2

3

，0)，
设平面PAC的一个法向量

n

=（x，y，z），
则

AP

⊥

n

，且

AC

⊥

n

，即

AP

•

n

=0，且

AC

•

n

=0

n

=0，
∴

2z=0 3x+2 3 y=0

，令x=1，解得

n

=（1，-

3

2

，0）---------------------（8分）
则cos＜

AE

，

n

＞=

- 3 2

3+1 • 1+ 3 4

=-

3 7

14

---------------------（10分）
直线AE与平面PAC所成角的正弦值为

3 7

14

----------------------（12分）

点评：本题主要考查空间直线和平面平面的判断，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法．