Question

【题目】已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2 ，且{bn}为递增数列，若cn= ，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，
则3（1+ + ）=9，
解得，q=1或q=﹣ ；
故an=3，或an=3（﹣ ）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；
故a2n+3=3（﹣ ）2n=3（ ）2n ，
故bn=log2 =2n，
故cn= = ﹣ ，
故c1+c2+c3+…+cn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣ ＜1．
【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而可得3（1+ + ）=9，从而解得；（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3（﹣ ）2n=3（ ）2n ， 从而可得bn=log2 =2n，利用裂项求和法求和．
【考点精析】利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．