Question

【题目】已知函数 ，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．
（1）求a，b的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数 ，若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=0，即b=0，

此时 ，

设直线x﹣ey=0与曲线y=f（x）切于点P（x0，y0），由题意得 ，解之得a=1；

（2）解：记函数 ，

当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，

当0＜x＜2时， ，

从而

∴F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．

又 ，∴F（1）F（2）＜0，

又曲线y=F（x）在[1，2]上连续不间断，

∴由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，

∴x∈（0，x0），F（x）＞0；x∈（x0，+∞），F（x）＜0，

故 ，

从而 ，

∴ ．

由函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，且曲线y=h（x）在（0，+∞）上连续不断，

知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．

①当x＞x0时， 在（x0，+∞）上恒成立，

即 在（x0，+∞）上恒成立，记 ，则 ，

从而u（x）在（x0，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，∴ ．

故 在（x0，+∞）上恒成立，只需 ，∴ ．

②当0＜x＜x0时， ，

当c≤0时，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，

综上所述，实数c的取值范围为：

【解析】（1）求出原函数的导函数，由f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线，可得b=1，且 ，由此可得a值；（2）记函数 ，求其导函数，可得当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，有 ，得到 ，分离参数c后利用导数求得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．