Question

【题目】已知函数f（x）= +aln（x﹣1）（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（2）当x∈[2，+∞）时，求证： ≤2ln（x﹣1）≤2x﹣4；
（3）求证： + +…+ ＜lnn＜1+ +…+ （n∈N*且n≥2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f′（x）= ，

若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，

则f′（x）≥0恒成立，

即a≥ 恒成立，所以a≥（ ）max．

又x∈[2，+∞），则0＜ ≤1，所以a≥1．

（2）证明：令a=2，由（Ⅰ）知函数f（x）= +2ln（x﹣1）在[2，+∞）上是增函数，

所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即 +2ln（x﹣1）＞0，则2ln（x﹣1）＞ =1﹣ ．

令g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1），则有g′（x）=2﹣ = ，

当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，

因此g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，

即可得到2x﹣4＞2ln（x﹣1）．

综上有1﹣ ＜2ln（x﹣1）＜2x﹣4（x＞2）．

（3）证明：在（2）的结论中令x﹣1= ，则 ＜2ln ＜2 ，

取t=1，2，…，n﹣1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n﹣1）个不等式，

将所得各不等式相加得， + +…+ ＜2（ln +ln +…+ln ）＜2（1+ +…+ ），

所以 + +…+ ＜2lnn＜2（1+ +…+ ），

即 + +…+ ＜lnn＜1+ +…+ （n∈N*且n≥2）

【解析】（1）先求导函数f′（x），要使函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，分离参数可得a≥ 恒成立，所以a≥（ ）max，由于x∈[2，+∞），可知0＜ ≤1，从而问题得解；（2）令a=2，由（Ⅰ）知函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，所以当x＞2时，f（x）＞f（2），从而不等式左边得证，构造函数g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1），求出g′（x），可知g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，从而不等式右边成立，故得证；（3）在（2）的结论中令x﹣1= ，则 ＜2ln ＜2 ，取t=1，2，…，n﹣1，（n∈N* ， n≥2）时，得到（n﹣1）个不等式，将所得各不等式相加得，即可证得．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．