Question

椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，已知椭圆Γ上的点P（

4

3

，

1

3

）到F₁、F₂的距离之和为2

2

；
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，

1

2

）对称，求直线CD的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆Γ上的点P（

4

3

，

1

3

）到两焦点F₁、F₂的距离之和为2

2

，可得

16

9a2

+

1

9b2

=1，2a=2

2

，a²=b²+c²，解出即可．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），设P是直线CD上的任意一点，由

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，相减可得：

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=1，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆Γ上的点P（

4

3

，

1

3

）到两焦点F₁、F₂的距离之和为2

2

，
∴

16

9a2

+

1

9b2

=1，2a=2

2

，a²=b²+c²，
解得a=

2

，b=1，c=1．
∴椭圆Γ的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），设P是直线CD上的任意一点，可得

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=

1

2

，

y1-y2

x1-x2

=

y- 1 2

x-1

（x≠1）．
∵

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，
相减可得：

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=1，
∴1+

y1-y2

x1-x2

=0，（x₁≠x₂）．
∴1+

y- 1 2

x-1

=0，
化为x+y-

3

2

=0，当x=1时也成立．
∴直线CD的方程为x+y-

3

2

=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．