Question

如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（　　）

• A、AC⊥BD
• B、AC=BD
• C、AC∥截面PQMN
• D、异面直线PM与BD所成的角为45°

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．

解答： 解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴

PN

BD

=

AN

AD

，

MN

AC

=

DN

AD

，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．B错误．
故选：B．

点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基本知识的考查．