Question

已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且前18项的积a₁•a₂…a₁₈=2²⁷
（1）若a₅+a₁₄=9，求公比q
（2）若公比q=2，求a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的性质求出a₅•a₁₄的值，与a₅+a₁₄=9，解方程组求出a₅，a₁₄，然后求解公比q
（2）通过公比q=2，化简已知条件，转化求解a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₃•a₁₈．即可．

解答： 解：（1）数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且前18项的积a₁•a₂…a₁₈=2²⁷，
则a₁₈•a₁₇…a₁=2²⁷，两式相乘可得：（a₁•a₁₈）¹⁸=2⁵⁴，即（a₅•a₁₄）¹⁸=2⁵⁴，
可得a₅•a₁₄=8，又a₅+a₁₄=9，解得a₅=1，a₁₄=8，或a₅=8，a₁₄=1，
当a₅=1，a₁₄=8时，可得8=1•q⁹，解得q=

3	2

．
当a₅=8，a₁₄=1时，可得1=8•q⁹，解得q=

3	1 2

．
（2）前18项的积a₁•a₂…a₁₈=2²⁷，公比q=2，
可得2²⁷=a₁•a₂…a₁₈=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）（a₁•a₄•a₇•a₁₀•a₁₃•a₁₆）（a₂•a₅•a₈•a₁₁•a₁₄•a₁₇）
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）q^-10（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）q^-5
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³q^-15
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³2^-15
∴（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³=2⁴²．
a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈=2¹⁴．

点评：本题考查等比数列的性质数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．