Question

设h是一个正整数，证明（1+h）ⁿ≥1+nh，n是任意正整数．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：要证明（1+h）ⁿ≥1+nh，先证明n=1时，（1+h）ⁿ≥1+nh成立，再假设n=k时，（1+h）ⁿ≥1+nh成立，进而证明出n=k+1时，（1+h）ⁿ≥1+nh也成立，即可得到对于任意正整数n：（1+h）ⁿ≥1+nh．

解答： 证明：将（1+h）ⁿ≥1+nh看成关于n的不等式，h为参数，以下用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；
当n=2时，左边=1+2h+h²，右边=1+2h，
因为h²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即（1+h）^k≥1+kh，
则当n=k+1时，
∵h是一个正整数，
∴1+h＞0，于是在不等式（1+h）^k≥1+kh两边同乘以1+h得
（1+h）^k•（1+h）≥（1+kh）•（1+h）=1+（k+1）h+kh²≥1+（k+1）h，
所以（1+h）^k+1≥1+（k+1）h．即当n=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立