Question

已知数列{an}的前n项和Sn=1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²，则S₁₀=

 

，S₂₇=

 

，S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用平方差公式展开可得：S₁₀=1²-2²+3²-4²+…+9²-10²=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（9-10）（9+10）再利用等差数列的前n项和公式即可得出．类比S₁₀即可得出S₂₇．对n分类讨论即可得出S_n．

解答： 解：S₁₀=1²-2²+3²-4²+…+9²-10²
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（9-10）（9+10）
=-（1+2+3+…+10）
=-

10×11

2

=-55．
S₂₇=1²-2²+3²-4²+…+25²-26²+27²
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（25-26）（25+26）+27²
=-（1+2+3+…+26）+27²
=-

26(1+26)

2

+27²
=378．
当n为偶数2k（k∈Z）时，
S_2k═1²-2²+3²-4²+…+（2k-1）²-（2k）²
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（2k-1-2k）（2k-1+2k）
=-（1+2+…+2k-1+2k）
=-

2k(1+2k)

2

=-

n(1+n)

2

．
当n为奇数2k-1（k∈Z）时，
S_2k-1=S_2k-（-1）^2k+1（2k）²
=-

(n+1)(n+2)

2

+（n+1）²
=

n(n+1)

2

．
综上可得：S_n=(-1)n+1×

n(n+1)

2

，（n∈N^*）．
故答案分别为：-55；378；(-1)n+1×

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、平方差公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．