Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠PAQ=90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由题意可得：

c

a

=

3

2

，2a=4，b²=a²-c²即可得出；
（II）设直线AP的方程为l₁：y=k（x-2），P（x₁，y₁）与椭圆的方程联立可得P，同理可得Q，设直线PQ交x轴于点M（m，0），利用

MP

∥

MQ

，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）2a=4，a=2，

c

a

=

3

2

，c=

3

，b=

a2-c2

=1，
∴椭圆的方程是

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设直线AP的方程为l₁：y=k（x-2），P（x₁，y₁）
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-2)

得，（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0．
则2•x1=

16k2-4

1+4k2

，
∴x1=

8k2-2

1+4k2

，y1=k(x1-2)=-

4k

4k2+1

，
∵∠PAQ=90°，设Q（x₂，y₂）
以-

1

k

代换x₁，y₁表达式中的k，得x2=

8-2k2

4+k2

，y2=

4k

4+k2

，
设直线PQ交x轴于点M（m，0），

MP

∥

MQ

，

MP

=(

8k2-2

4k2+1

-m，-

4k

4k2+1

)，

MQ

=(

8-2k2

4+k2

-m，

4k

4+k2

)，
∴(

8k2-2

4k2+1

-m)•

4k

4+k2

-(

8-2k2

4+k2

-m)•(-

4k

4k2+1

)=0，
5m（1+k²）=6（1+k²）则m=

6

5

，
∴直线EF过定点(

6

5

，0)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、共线向量定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．