Question

已知（

x

+

x

2

）ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中含有

x

的项的二项式系数及项的系数．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由题意，求出二项式的指数n，然后写出通项，整理后，从xd的指数，按照要求解答．

解答： 解：（

x

+

x

2

）ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列，即1，

C

1 n

×

1

2

，

C

2 n

×

1

4

成等差数列，所以n=1+

n(n-1)

8

，解得n=1（舍去）或者n=8；
所以二项式为（

x

+

x

2

）⁸，展开式的通项为：Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

x

2

)r=(

1

2

)r

C

r 8

x4+

r

2

，r∈（0，8）且r∈Z，令r=1，3，5，7，展开式中含有

x

的项，对应的二项式系数：

C

1 8

=8，

C

3 8

=56，

C

5 8

=56，

C

7 8

=8；
项的系数为：

1

2

×8=4，

1

8

×56=7，

1

32

×56=

7

4

，

1

128

×8=

1

16

．

点评：本题考查了二项式定理的展开式中二项式系数以及项的系数，关键是明确展开式通项．