Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，底面△ABC中AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点，求证：（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：运用线面垂直的判定定理和性质定理以及线面平行的判定定理，进行分别证明．

解答： 证明：（1）在△ABC中，由AC=3，AB=5，BC=4，
∴3²+4²=5²，
∴△ABC为直角三角形，
∴AC⊥BC，
又∵CC₁⊥面ABC，
∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，
∴AC⊥面BCC₁，
∴AC⊥BC₁；
（2）连结B₁C交BC₁于点E，
则E为BC₁的中点，连结DE，
则在△ABC₁中，DE∥AC₁，
又DE?面CDB₁，AC₁?面B₁CD则AC₁∥面B₁CD．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及线面平行的判定定理的运用．