Question

下列关于函数f（x）=2^x的叙述正确的有

 

（填写正确命题的序号）
①函数f（x）的反函数是f^-1（x）=log₂x（x＞0）；
②函数f（x）关于原点对称的函数是y=

1

2x

；
③?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有f（

x 1+x 2

2

）＞

f(x 1)+f(x 2)

2

；
④f（x）-kx=0无实根的充分条件是0≤k≤e•ln2．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由y=2^x可得x=log₂y，再由反函数的定义，即可判断①；由关于原点对称的特点，将x，y换为-x，-y，即可判断②；运用作差法，即

f(x 1)+f(x 2)

2

-f（

x 1+x 2

2

），化简整理，配方，即可判断③；讨论k=0，k＜0，k＞0，直线与曲线的位置关系，设直线与曲线相切时的切点，运用导数的几何意义，列方程解得k，再由充分必要条件的定义即可判断④．

解答： 解：对于①，由y=2^x可得x=log₂y，即有函数f（x）的反函数是f^-1（x）=log₂x（x＞0），则①正确；
对于②，函数f（x）关于原点对称的函数是y=-2^-x，则②错误；
对于③，?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，

f(x 1)+f(x 2)

2

-f（

x 1+x 2

2

）=

1

2

（2x1+2x2）-2

x1+x2

2

=

1

2

（2

x1

2

-2

x2

2

）²＞0，则有f（

x 1+x 2

2

）＜

f(x 1)+f(x 2)

2

，则③错误；
对于④，f（x）-kx=0无实根，即有2^x=kx无实数解，k=0显然成立，当k＜0时，直线y=kx经过第二象限，
与y=2^x相交，当k＞0时，设直线y=kx与y=2^x相切，切点为（m，n），由y=2^x的导数为y′=2^xln2，
则切线的斜率为2^mln2=k，且n=km，n=2^m，解得k=eln2，则当0≤k＜e•ln2时，方程无实根，
则④错误．
故答案为：①．

点评：本题考查函数的性质和运用，主要考查指数函数的反函数的求法和对称性的运用，以及指数函数的图象，运用作差比较和求导是解题的关键，属于中档题和易错题．