Question

已知函数f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x²+y²-2y=0相切，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立？如果存在，试求出实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,直线与圆

分析：（1）求出导数，求得在切点处的切线斜率，以及切点，由点斜式方程求得切线方程，求得圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得d=r，计算即可得到a；
（2）假设存在实数a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求出函数的导数，对a讨论，当-2≤a≤2时，当a＞2时，当a＜-2时，考虑它们的单调性，即可判断a的范围．

解答： 解：（1）f（x）=x-

1

x

-alnx的导数为f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

，
即有f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2-a，
又f（1）=0，
则有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（2-a）（x-1）．
圆x²+y²-2y=0的圆心为（0，1），半径为1，
由直线和圆相切可得，

|a-2-1|

1+(2-a)2

=1，
解得a=2；
（2）假设存在实数a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
由f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x

，
若△=a²-4≤0，即-2≤a≤2，则f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
即有f（x）在（1，+∞）上递增，则f（x）＞f（1）=0恒成立；
若△=a²-4＞0即a＞2或a＜-2时，
当a＞2时，x²-ax+1=0的两根为x₁=

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

．
即有x₁＜1，x₂＞1，则在（1，x₂）上f（x）递减，在（x₂，+∞）上递增，
则f（x）＞f（1）=0不恒成立；
当a＜-2时，x₁＜0，x₂＜0，f（x）在（1，+∞）上递增，则f（x）＞f（1）=0恒成立．
综上可得，存在实数a，且当a≤2，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性，解题的关键是正确求导，合理分类，属于中档题．