Question

已知函数f（x）=

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x³-2x²+ax，在该曲线的所有切线中，有且只有一条切线l与直线y=x垂直，则切线l的方程为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得a的值与切线1的方程．

解答： 解：∵f（x）=

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x³-2x²+ax（a∈R），
∴f′（x）=x²-4x+a．
∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，
∴x²-4x+a=-1有且只有一个实数根．
∴△=16-4（a+1）=0，
∴a=3．
∴x=2，f（2）=

2

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．即切点（2，

2

3

）．
∴切线l：y-

2

3

=-（x-2），即3x+3y-8=0．
故答案为：3x+3y-8=0．

点评：本题主要考查导数的几何意义，同时考查了直线的点斜式方程和两直线垂直的条件，是一道基础题，应注意正确求导．