Question

设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数y=f（x）（x₁＜x＜x₂）图象上的两端点．O为坐标原点，且点N满足

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且满足x=λx₁+（1-λ）x₂（λ为实数），则称|MN|的最大值为函数y=f（x）的“高度”．函数f（x）=x²-2x-1在区间[-1，3]上的“高度”为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：根据函数f（x）高度的定义，想法求出点M，N的坐标即可表示出|MN|，求其最大值即可：A（-1，2），B（3，2），x₁=-1，x₂=3，所以便可求出N（3-4λ，2），M（3-4λ，16λ²-16λ+2），所以得到|MN|=16|λ²-λ|，而根据M点在f（x）图象上可求出0≤λ≤1，这样根据二次函数的图象即可求得|λ²-λ|的最大值，从而求出f（x）在区间[-1，3]上的“高度”．

解答： 解：根据已知条件，A（-1，2），B（3，2）；
∴λ

OA

+(1-λ)

OB

=λ（-1，2）+（1-λ）（3，2）=（3-4λ，2）；
∴N（3-4λ，2）；
x_M=-λ+3（1-λ）=3-4λ；
M点在f（x）图象上；
∴M点的纵坐标为：16λ²-16λ+2，且-1≤3-4λ≤3，即0≤λ≤1；
∴M（3-4λ，16λ²-16λ+2）；
∴|MN|=16|λ²-λ|；
∴λ=

1

2

时|λ²-λ|取到最大值

1

4

，从而|MN|取最大值4；
∴f（x）在[-1，3]上的高度为4．
故答案为：4．

点评：考查对函数“高度”定义的理解，向量的坐标和点的坐标的关系，以及根据二次函数的图象求最值，并且弄清函数|λ²-λ|和二次函数λ²-λ图象的关系．