Question

已知椭圆C与双曲线x²-

y2

3

=1的焦点相同，且与直线y=x+4有公共点，则椭圆C的长轴长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件即可设出椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，而根据椭圆C和直线y=x+4有公共点即可得到方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1有解，所以判别式△=a⁴-14a²+40≥0，再根据a＞2，所以解该不等式即得到a²≥10，所以a的最小值为

10

，所以便可得到椭圆C的长轴长的最小值．

解答： 解：根据已知条件得到c=2，椭圆C的方程设为：

x2

a2

+

y2

a2-4

=1；
椭圆C与直线y=x+4有公共点；
∴方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1有解；
方程变成(

1

a2

+

1

a2-4

)x2+

8

a2-4

x+

16

a2-4

-1=0；
∴△=a⁴-14a²+40≥0；
解得a²≥10，或a²≤4；
∵a＞2；
∴a²≥10；
∴椭圆C的长轴的最小值为2

10

．
故答案为：2

10

．

点评：考查双曲线、椭圆的标准方程，椭圆的焦点及长轴的概念，椭圆与直线有公共点时对应的方程的关系，以及一元二次方程有解时判别式△的取值情况，注意长轴的长为2a．