Question

已知二次函数f（x）在x=

t+2

2

处取得最小值-

t2

4

（t≠0），且f（1）=0
（1）求f（x）的表达式
（2）若函数f（x）在闭区间[-1，

1

2

]上的最小值是-5，求对应的t和x的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）（1）根据条件可设二次函数的顶点式f（x）=a（x-

t+2

2

）²-

t2

4

，由f（1）=0，可得a，从而求得f（x）表达式．
（2）根据对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，求出其最小值，令其等于-5，即可求得t值．

解答： 解：（1）设二次函数f（x）=a（x-

t+2

2

）²-

t2

4

，
又f（1）=0，所以a（1-

t+2

2

）²-

t2

4

=0，解得a=1，
所以f（x）=（x-

t+2

2

）²-

t2

4

（t≠0）；
（2）因为f（x）=（x-

t+2

2

）²-

t2

4

（t≠0）；
①当

t+2

2

＜-1，即t＜-4时，
f（x）_min=f（-1）=（-1-

t+2

2

）²-

t2

4

=-5，解得t=-

9

2

；
②当-1≤

t+2

2

≤

1

2

，即-4≤t≤-1时，
f（x）_min=f（

t+2

2

）=-

t2

4

=-5，解得t=±2

5

（舍去）；
③当

t+2

2

＞

1

2

，即t＞-1时，
f（x）_min=f（

1

2

）=（

1

2

-

t+2

2

）²-

t2

4

=-5，解得t=-

21

2

（舍去）．
综上得，所求的t=-

9

2

，x=-1．

点评：本题考查二次函数在闭区间上最值问题及二次函数解析式的求解，考查分类讨论思想、数形结合思想，属中档题