Question

给定区域D：

x+4y≥0 x+y≤4 x+y≥2 x≥0

，令点集T={（x₀，y₀）∈D|x₀，y₀∈Z}，（x₀，y）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点最多能确定三角形的个数为（　　）

• A、15
• B、25
• C、28
• D、32

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，求出z=x+y在D上取得最大值或最小值的点，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，

因为直线z=x+y与直线x+y=4，直线x+y=2平行，所以
直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4）时，直线的纵截距最大，即z最大；直线z=x+y过
直线x+y=2上的整数点：（0，2），（1，1）时，直线的纵截距最小，
即z最小．所以满足条件的点共有7个，则T中的点最多能确定三角形的个数为

C

3 7

-

C

3 5

=35-10=25（个），
故选：B

点评：本题是一道涉及线性规划和组合数求解的综合题．问题求解分两步完成：第一步求出目标函数z=x+y在D上取得最大值或最小值的点；第二步计算T中的点最多能确定三角形的个数．在计算三角形个数时，注意排除三点共线的情形．