Question

设复数x=z是实系数方程ax²+bx+c=0的虚根，证明x=

.

z

也是该方程的根．

Answer 1

考点：实系数多项式虚根成对定理

专题：数系的扩充和复数

分析：设出复数z，利用方程根的关系代入方程，然后推出共轭复数的满足题意．即可．

解答： 证明：复数x=z是实系数方程ax²+bx+c=0的虚根，设z=α+βi，则：a（α+βi）²+b（α+βi）+c=0，
可得a（α²-β²）+bα+c+（2aαβ+bβ）i=0．
可得a（α²-β²）+bα+c=0且2aαβ+bβ=0．
可得：a（α²-β²）+bα+c-（2aαβ+bβ）i=0．
即a（α-βi）²+b（α-βi）+c=0．
因为α-βi与α+βi是共轭复数，
可知x=

.

z

也是该方程ax²+bx+c=0的根．

点评：本题考查复数的应用，实系数方程虚根成对的验证，基本知识的考查．