Question

11．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量．
（1）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，求证：A、B、C三点共线；
（2）设$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{a}$+β$\overrightarrow{b}$，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，求证：$\frac{α}{m}$+$\frac{β}{n}$=1．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{AB}$=-2$\overrightarrow{AB}$，即可证明．
（2）由M、P、N三点共线，可得：存在实数λ，使得$\overrightarrow{MP}$=$λ\overrightarrow{PN}$，化为：$\overrightarrow{OP}$=$\frac{m}{1+λ}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{λn}{1+λ}$$\overrightarrow{b}$，由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量，即可得出．

解答 证明：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）-（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$共线，
∵有公共端点B．
∴A、B、C三点共线．
（2）∵M、P、N三点共线，
∴存在实数λ，使得$\overrightarrow{MP}$=$λ\overrightarrow{PN}$，
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}$=λ$（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$，
解得$\overrightarrow{OP}$=$\frac{m}{1+λ}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{λn}{1+λ}$$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{α=\frac{m}{1+λ}}\\{β=\frac{λn}{1+λ}}\end{array}}\right.$，
∴$\frac{α}{m}+\frac{β}{n}=\frac{1}{1+λ}+\frac{λ}{1+λ}=1$．

点评 本题考查了向量的坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．