Question

3．已知函数f（x）=x²+（a-1）x+1在区间（$\frac{1}{2}$，1）上是减函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-3，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）根据函数是二次函数，且在对称轴两侧单调性相反，由此求出a的取值范围；
（2）根据二次函数的最值，求出a的值，从而写出f（x）的解析式，再利用导数求切线的斜率，即可写出切线方程．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+（a-1）x+1是二次函数，且在区间$（\frac{1}{2}，1）$上是减函数，
所以对称轴x=$-\frac{a-1}{2}≥1$，解得a≤-1；…（4分）
（2）函数y=f（x）的最小值为-3，所以$\frac{{4-{{（a-1）}^2}}}{4}=-3$，
解得a=-3或a=5，
注意到a≤-1，所以取 a=-3；…（6分）
此时f（x）=x²-4x+1，f'（x）=2x-4，…（8分）
所以曲线在（1，f（1））处切线的斜率为k=f'（1）=2-4=-2，…（10分）
且f（1）=1-4+1=-2，
所以，所求切线的方程为y+2=-2（x-1），
即2x+y=0．…（12分）

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用导数求曲线的切线问题，是综合性题目．