Question

13．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos²x+a-1（a∈R，a是常数）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）和差化积公式、二倍角公式及辅助角公式，将f（x）化简，求得f（x）的解析式，根据周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），即可解得函数的单调递减区间；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，根据正弦函数图象及性质求得f（x）的最小值，代入即可求得a的值．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos²x+a-1，
=2sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2x+a，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π；           …..（4分）
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），函数f（x）单调递减，
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，（k∈Z），
故所求区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；…..（8分）
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
当2x+$\frac{π}{6}$$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值．
∴2sin（2×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）+a=-2，
∴a=-1．      …..（13分）

点评 本题考查三角恒等变换公式，正弦函数图象及简单性质，考查计算能力，属于中档题．