Question

5．在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{c}$，试用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}表示向量$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，然后利用向量加减法的三角形法则求得$\overrightarrow{PG}$．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BO}$
=$\overrightarrow{PB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}）$
=$\frac{1}{6}\overrightarrow{PA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PB}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$．
故答案为：$\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查空间向量的基本定理及其意义，考查向量加减法的三角形法则，是基础题．