Question

18．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax在区间（$\frac{1}{3}，+∞}$）上单调递增，则实数a的取值范围是[-$\frac{2}{9}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为2a≥-x²-x在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，令h（x）=-x²-x，x∈（$\frac{1}{3}，+∞}$），根据函数的单调性求出h（x）的范围，从而求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，
∴f′（x）=x²+x+2a=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+2a，
若f（x）在区间（$\frac{1}{3}，+∞}$）上单调递增，
则x²+x+2a≥0在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，
即2a≥-x²-x在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，
令h（x）=-x²-x，x∈（$\frac{1}{3}，+∞}$），
h（x）在（$\frac{1}{3}$，+∞）递减，
∴h（x）≤h（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{4}{9}$，
∴2a≥-$\frac{4}{9}$，
a≥-$\frac{2}{9}$，
故答案为：[-$\frac{2}{9}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．