Question

8．定义在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f'（x）＞sin2x•f（x）-cos2x•f'（x），若a=f（$\frac{π}{3}$），b=2f（0），c=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞b＞a
• C． a＞c＞b
• D． b＞c＞a

Answer 1

分析 把f'（x）＞sin2x•f（x）-cos2x•f'（x）变形，可得sinx•f（x）-cosx•f′（x）＜0，令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=cosx•f′（x）-f（x）sinx＞0，从而得到函数g（x）为（0，$\frac{π}{2}$）上的增函数，由此可得$g（\frac{π}{3}）＞g（\frac{π}{6}）＞g（0）$，进一步得到a，b，c的大小．

解答 解：由f'（x）＞sin2x•f（x）-cos2x•f'（x），得
sin2x•f（x）-cos2x•f'（x）-f'（x）＜0，即sin2x•f（x）-（cos2x+1）•f′（x）＜0，
∴sin2x•f（x）-2cos²x•f′（x）＜0，
即2sinx•cosx•f（x）-2cos²x•f′（x）＜0，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），则cosx＞0，∴sinx•f（x）-cosx•f′（x）＜0．
令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=cosx•f′（x）-f（x）sinx＞0，
则函数g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
又函数定义域为（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴$g（\frac{π}{3}）＞g（\frac{π}{6}）＞g（0）$，即$f（\frac{π}{3}）•cos\frac{π}{3}＞f（\frac{π}{6}）•cos\frac{π}{6}＞f（0）•cos0$，
∴$\frac{1}{2}f（\frac{π}{3}）＞\frac{\sqrt{3}}{2}f（\frac{π}{6}）＞f（0）$，则$f（\frac{π}{3}）$＞$\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$＞2f（0）．
∴a＞c＞b．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数构造法，是中档题．