Question

3．已知向量$\overrightarrow a$=（1，1），|$\overrightarrow b$|=1，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow b$|=3，则|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{b}$=（x，y），由向量$\overrightarrow a$=（1，1），|$\overrightarrow b$|=1，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow b$|=3，可得：$2\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2+x，2+y），$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，$\sqrt{（2+x）^{2}+（2+y）^{2}}$=3，联立检查即可得出答案．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$=（x，y），
∵向量$\overrightarrow a$=（1，1），|$\overrightarrow b$|=1，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow b$|=3，
∴$2\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2+x，2+y），$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，$\sqrt{（2+x）^{2}+（2+y）^{2}}$=3，
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=$（1-\frac{\sqrt{2}}{2}，1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$或$（1+\frac{\sqrt{2}}{2}，1-\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
则|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．