Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c，函数f（x）在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则u=$\frac{b-2}{a-1}$的取值范围是$（\frac{1}{4}，1）$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a，b的不等式组，画出满足条件的平面区域，结合图象求出u的范围即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，
画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+1=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$，解得：A（-3，1），
则u=$\frac{b-2}{a-1}$的几何意义表示平面区域内的点与（1，2）的直线的斜率，
而K_AB=$\frac{1}{4}$，K_BC=1，
故u∈$（\frac{1}{4}，1）$，
故答案为：$（\frac{1}{4}，1）$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，数形结合思想，是一道中档题．