Question

8．设矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．

Answer 1

分析 由矩阵A，求得丨A丨及A*，A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$×A*，求得A^-1，由特征多项式f（λ）=0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量．

解答 解：丨A丨=$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}|$=1-4=-3，A*=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{array}]$，
A的逆矩阵为A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$×A*=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$，
则特征多项式为f（λ）=（λ+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{4}{9}$=λ²+$\frac{2}{3}$λ-$\frac{1}{3}$，
令f（λ）=0，解得：λ₁=-1，λ₂=$\frac{1}{3}$，
设特征向量为$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，则$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=-$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
可知特征值λ₁=-1，对应的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
同理可得特征值λ₂=$\frac{1}{3}$，对应的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．…（10分）

点评 本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题．