Question

2．函数f（x）=x（1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）的最大值是（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 换元，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的最大值．

解答 解：设x=cosα（0≤α≤π），则y=cosα（1+sinα），
∴y′=-sinα（1+sinα）+cos²α=-2sin²α-sinα+1=-（sinα+1）（2sinα-1），
∴0≤α≤$\frac{π}{6}$，y′＞0，$\frac{π}{6}$≤α≤π，y′＜0，
∴α=$\frac{π}{6}$时，函数取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的最大值，考查换元法的运用，考查导数知识，属于中档题．