Question

10．函数f（x）=x+$\frac{1}{ax}$在（-∞，-1）上单调递增，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 若函数f（x）=x+$\frac{1}{ax}$在（-∞，-1）上单调递增，则f′（x）=1-$\frac{1}{{ax}^{2}}$≥0在（-∞，-1）上恒成立，构造函数将问题转化为最值问题，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=x+$\frac{1}{ax}$在（-∞，-1）上单调递增，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{ax}^{2}}$≥0在（-∞，-1）上恒成立，
即$\frac{1}{a}$≤x²在（-∞，-1）上恒成立，
即$\frac{1}{a}$≤1，
解得：a∈（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪[1，+∞）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数的最值及几何意义，分式不等式的解法，难度中档．