Question

17．若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{ab}$，则a³+b³的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 运用基本不等式可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，即为ab≥2，再由a³+b³≥2$\sqrt{（ab）^{3}}$，即可得到所求最小值．

解答 解：a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{ab}$，
可得$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，即为ab≥2，
则a³+b³≥2$\sqrt{（ab）^{3}}$≥2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，
当且仅当a=b=$\sqrt{2}$时，取得最小值4$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查最值的求法，注意运用基本不等式和不等式的性质，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．