Question

12．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：∠ANC=∠BNC．

Answer 1

分析 （1）由题意，m+$\frac{p}{2}$=2，4=2pm，求出p，即可求出抛物线的方程；
（2）直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x²-4kx-8=0，利用韦达定理证明k_AN+k_BN=0，即可证明结论．

解答 （1）解：由题意，m+$\frac{p}{2}$=2，4=2pm，
∴p=2，
∴抛物线的方程为x²=4y；
（2）证明：设直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x²-4kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∴k_AN+k_BN=$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=0，
∴∠ANC=∠BNC．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．