Question

3．用行列式讨论下列关于x，y，z的方程组$\left\{\begin{array}{l}ax-y-z=1\\ x+y-az=2\\ x-y-z=1\end{array}\right.$的解的情况，并求出相应的解．

Answer 1

分析 先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，D_x，D_y，下面对a的值进行分类讨论，并求出相应的解．

解答 解：方程组可转化为：$[\begin{array}{l}{a}&{-1}&{-1}\\{1}&{1}&{-a}\\{1}&{-1}&{-1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\\{z}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}\\{2}\\{1}\end{array}]$，
D=$|\begin{array}{l}{a}&{-1}&{-1}\\{1}&{1}&{-a}\\{1}&{-1}&{-1}\end{array}|$=1-a²=-（a+1）（a-1），
D_x=$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{-1}\\{2}&{1}&{-a}\\{1}&{-1}&{-1}\end{array}|$=-4（a+1）（a-1），
D_y=$|\begin{array}{l}{a}&{1}&{-1}\\{1}&{2}&{-a}\\{1}&{1}&{-1}\end{array}|$=-（a-1）（a-3）
D_z=$|\begin{array}{l}{a}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\end{array}|$=4（a-1）
①当系数行列式丨A丨≠0时，方程组有唯一解，
当a≠±1时，有唯一解$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\frac{a-2}{a+1}}\\{z=-\frac{3}{a+1}}\end{array}}\right.$
②当a=-1时，无解
③当a=1时，有无穷多解，通解为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t+\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\\{z=t}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查三元一次方程组得矩阵形式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．