Question

19．已知方程cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=k+1．
（1）k为何值时，方程在区间[0，$\frac{π}{2}$]内有两个相异的解α，β；
（2）当方程在区间[0，$\frac{π}{2}$]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），根据函数图象判断k的范围；
（2）求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的对称轴，根据图象的对称性得出α+β的值．

解答 解：（1）令f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
作出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的函数图象如图所示：

由图象可知当1≤k+1＜2即0≤k＜1时，f（x）=k+1有两个相异的解．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$上的对称轴为x=$\frac{π}{3}$，
∴α+β=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．