Question

4．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈[0，1）}\\{-{（\frac{1}{2}）}^{|x-\frac{3}{2}|}，x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若x∈[-4，2）时，f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [-2，0）∪（0，1）
• B． [-2，0）∪[1，+∞）
• C． [-2，1]
• D． （-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

分析 令-4≤x＜-2，则0≤x+4＜2，由f（x+2）=2f（x），求出f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+4），画出y=f（x）和y=$\frac{1}{4}$f（x+4）的图象，求出最小值，将x∈[-4，2）时，f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，转化为x∈[-4，2），f（x）_min≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$，解出不等式即可求出实数t的取值范围．

解答 解：令-4≤x＜-2，则0≤x+4＜2，
∵f（x+2）=2f（x），
∴f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），
即f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+4），
画出y=f（x）和y=$\frac{1}{4}$f（x+4）的图象，
当x=1.5时，f（x+4）取最小值-1，
由x∈[-4，2），f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，
则-$\frac{1}{4}$≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$，解得t≤-2或0＜t≤1．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的图象及应用，考查函数的最值及运用，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查数形结合的能力，属于中档题．