Question

16．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的焦点F₁，F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交于P₁，P₂，则|P₁P₂|=1，|P₁F₂|=$\frac{7}{2}$，|$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{2}}$|=$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由椭圆的性质可知，求得P₁的坐标为（-$\sqrt{3}$，y），代入椭圆方程，求得y的值，由|P₁P₂|=2|P₁F₁|=1，|P₁F₁|+|P₁F₂|=2a=4，求得|P₁F₂|，分别求得向量$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{1}}$和$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{2}}$的坐标，求得|$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{2}}$|．

解答 解：椭圆的焦点在x轴上，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交于P₁，P₂，
P₁的坐标为（-$\sqrt{3}$，y），y＞0，代入椭圆方程可知：
$\frac{3}{4}$+y²=1，解得：y=$\frac{1}{2}$，
∴P₁的坐标为（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴|P₁F₁|=$\frac{1}{2}$，
|P₁P₂|=2|P₁F₁|=1，
|P₁F₁|+|P₁F₂|=2a=4，
∴|P₁F₂|=$\frac{7}{2}$，
$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$，-1），
|$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{P}_{1}{F}_{2}}$|=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案为：1，$\frac{7}{2}$，$\sqrt{13}$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题．