Question

1．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点与极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（2）=0且f（2）=8，解方程即可；
（Ⅱ）求出导数，令导数为0，解出方程，再求单调区间，从而确定极值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，?
因为曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，?
所以f′（2）=0且f（2）=8，即3（4-a）=0且8-6a+b=8，?
解得a=4，b=24；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3a，（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由f′（x）=0⇒x=±$\sqrt{a}$，
当x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时x=-$\sqrt{a}$是f（x）的极大值点，x=$\sqrt{a}$是f（x）的极小值点，
∴f（x）_极大值=f（-$\sqrt{a}$）=2a$\sqrt{a}$+b，f（x）_极小值=f（$\sqrt{a}$）=-2a$\sqrt{a}$+b．

点评 本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值，考查运算能力，是一道中档题．