Question

2．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（3）个条件得到②正确；利用反证法及2^x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；

解答 解：①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，正确；
②取x∈（2^m，2^m+1），
则 $\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；f（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，
f（$\frac{x}{2}$）=…=2^mf（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2^m+1-x
从而f（x）∈[0，+∞），正确
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即存在x₁，x₂，2^x₁-2^x₂=10，
又∵2^x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在满足条件的x₁，x₂，所以该命题错误；
综合有正确的序号是①②．
故选：B．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的值，函数的值域，全称命题和特称命题，难度中档．