Question

12．已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax²，
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，-2），求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）
①求证：-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
②求证：f（x₂）＞f（x₁）且x₁∈（0，1）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到切点，表示出切线方程，代入A，求出a的值即可；
（2）①设g（x）=lnx+2ax+1，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的范围，证出结论；
②根据函数的单调性得到f（x）在[x₁，x₂]上为增函数，得到f（x₂）＞f（x₁），f′（1）=g（1）=2a+1＞0，从而证出结论．

解答 解：（1）由已知：f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a）…（1分）
切线方程：y-a=（2a+1）（x-1），把（0，-2）代入得：a=1                 …（3分）
（2）①依题意：f′（x）=0有两个不等实根，
设g（x）=lnx+2ax+1，则：$g′（x）=\frac{1}{x}+2a（x＞0）$
当a≥0时：g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；             …（5分）
当a＜0时：由g′（x）=0得：$x=-\frac{1}{2a}＞0$
列表如下：

x	$（0，-\frac{1}{2a}）$	$-\frac{1}{2a}$	$（-\frac{1}{2a}，+∞）$
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

依题意：$g（-\frac{1}{2a}）=ln（-\frac{1}{2a}）＞0$，解得：$-\frac{1}{2}＜a＜0$
综上所求：$-\frac{1}{2}＜a＜0$，得证；     …（8分）
②由①知：f（x），f′（x）变化如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

由表可知：f（x）在[x₁，x₂]上为增函数，所以：f（x₂）＞f（x₁）…（10分）
又f′（1）=g（1）=2a+1＞0，故x₁∈（0，1）…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．